《章末整合》函数PPT
第一部分内容：探究学习
题型一、分段函数的应用
例1已知函数f(x)={■("-" x^2+2x"," x>0"," @0"," x=0"," @x^2+mx"," x<0)┤是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
解:(1)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴当x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,∴m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图像(图像略)知
{■(a"-" 2>"-" 1"," @a"-" 2≤1"," )┤∴1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].
方法技巧已知函数的奇偶性求参数值,可利用定义或特殊值来求解,本题也可用f(-1)=-f(1)求出m的值,再检验即可.另外,分段函数的各段的单调性可分别判断,但对于跨段的单调性问题要注意在分段端点处的衔接.
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题型二、函数单调性、奇偶性的综合应用
例2已知函数f(x)=ax+ (x≠0,常数a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f(x)在x∈[3,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
解:(1)f(x)的定义域为{x|x≠0},其定义域关于原点对称.
当a=0时,f(x)=1/x^2 ,对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
f(-x)=1/("(-" x")" ^2 )=1/x^2 =f(x),∴f(x)为偶函数.
当a≠0时,f(x)=ax+1/x^2 (a≠0,x≠0),取x=±1,
得f(-1)+f(1)=2≠0,f(-1)-f(1)=-2a≠0,
∴函数f(x)是非奇非偶函数.
综上所述,当a=0时,f(x)是偶函数;
当a≠0时,f(x)是非奇非偶函数.
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题型三、二次函数的最值(值域)
例3已知函数f(x)=x2+2ax+2.
(1)当a=-1时,求函数f(x)在区间[-5,5]上的最大值和最小值;
(2)用a表示出函数f(x)在区间[-5,5]上的最值.
分析:将原函数先配方,对于第(2)问还要结合图像进行分类讨论.
解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
因为1∈[-5,5],故当x=1时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(1)=1;
当x=-5时,f(x)取得最大值,f(x)max=f(-5)=(-5-1)2+1=37.
(2)函数f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的图像开口向上,对称轴为x=-a.
当-a≤-5,即a≥5时,函数在区间[-5,5]上是增函数,所以f(x)max=f(5)=27+10a,f(x)min=f(-5)=27-10a;
当-5<-a≤0,即0≤a<5时,函数图像如图①所示,由图像可得f(x)min=f(-a)=2-a2,f(x)max=f(5)=27+10a;
当0<-a<5,即-5<a<0时,函数图像如图②所示,由图像可得f(x)max=f(-5)=27-10a,f(x)min=f(-a)=2-a2;
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