《函数与方程、不等式之间的关系》函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.了解函数零点的定义,会求简单函数的零点.
2.掌握判断一元二次方程根的存在及个数的方法.
3.了解函数的零点与方程根的联系,能利用具体函数的图像,借助计算器用二分法求相应方程的近似解.
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函数与方程不等式之间的关系PPT，第二部分内容：自主预习
知识点一、函数的零点
1.思考
(1)二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根的条件是什么?
提示:当Δ≥0,即b2-4ac≥0时,二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根.
(2)一次函数y=kx+m(k≠0)的图像与x轴的交点坐标是什么?这个交点的坐标与方程kx+m=0的根有何关系?
提示:交点坐标为("-" m/k "," 0),其中交点的横坐标恰好为方程kx+m=0的根.
2.填空
(1)定义:
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做这个函数的零点.
(2)性质:
①当函数的图像通过零点且穿过x轴时,函数值变号.
②两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号.
知识点二、二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系
1.思考
(1)二次函数没有零点的等价说法是什么?
提示:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当Δ=b2-4ac<0时,函数y=f(x)没有零点,则函数y=f(x)的图像与x轴没有交点.
(2)二次函数的零点最多只有两个吗?所有的二次函数都有零点吗?
提示:二次函数的零点最多只有两个,因为二次函数对应的一元二次方程最多只有两个根.并不是所有的二次函数都有零点,这是因为不是所有的一元二次方程都有实数根,如函数y=x2+2x+2就没有零点.
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函数与方程不等式之间的关系PPT，第三部分内容：探究学习
求函数的零点
例1 求下列函数的零点:
(1)f(x)=-x2-2x+3;
(2)f(x)=x4-1.
分析:解对应的方程的根,即为函数的零点.
解:(1)由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),
所以方程-x2-2x+3=0的两根是-3,1.
故函数的零点是-3,1.
(2)由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),
所以方程x4-1=0的实数根是-1,1.
故函数的零点是-1,1.
反思感悟求函数零点的方法
1.函数零点的求法:解方程f(x)=0,所得实数解就是f(x)的零点.解三次以上的高次方程时,一般需要因式分解.
2.对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来,图像与x轴交点的横坐标即为函数的零点.
变式训练1求f(x)=x3-4x的零点.
解:令f(x)=0,即x3-4x=0,所以x(x2-4)=0,即x(x+2)(x-2)=0,
解得x1=0,x2=-2,x3=2.
所以函数f(x)=x3-4x有3个零点,分别是-2,0,2.
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函数与方程不等式之间的关系PPT，第四部分内容：规范解答
二次函数的零点综合问题
典例 已知二次函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5.
(1)当函数f(x)有两个不同零点时,求k的取值范围;
(2)若-1和-3是函数的两个零点,求k的值;
(3)若函数的两个不同零点是α,β,求α2+β2关于k的关系式h(k).
思路点拨:本题考查对二次函数零点的理解及零点的性质.本题中的函数f(x)是二次函数,因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为二次方程根的判断或根的性质.
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函数与方程不等式之间的关系PPT，第五部分内容：当堂检测
1.(多选)下列函数图像与x轴均有交点,其中能用二分法求函数零点的图像是( )
答案:ACD
2.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则实数f(x)=cx2+bx+a的零点为( )
A.1,2 B.-1,-2
C.1,1/2 D.-1,-1/2
解析:∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,
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