《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT(第2课时均值不等式的应用)
第一部分内容:学习目标
会利用均值不等式证明不等式问题
会利用均值不等式解决与函数y=ax+bx有关的实际问题
会将不等式的恒成立问题,通过分离参数转化为均值不等式问题求解
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均值不等式及其应用PPT,第二部分内容:讲练互动
利用均值不等式证明不等式
已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1.求证:1a-11b-11c-1≥8.
规律方法
利用均值不等式证明不等式的思路
利用均值不等式证明不等式时,要先观察题中要证明的不等式的结构特征,若不能直接使用均值不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到能使用基本不等式的形式;若题目中还有已知条件,则先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有“1”时,要注意“1”的代换.另外,解题时要时刻注意等号能否取到.
跟踪训练
1.已知a,b都是正实数,且ab=2,求证:(1+2a)(1+b)≥9.
2.已知a,b,c>0,求证:a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
利用均值不等式解实际应用题
某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1 800元,面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天支付的总费用最少?
规律方法
利用均值不等式解决实际问题的思路
利用均值不等式解决应用问题的关键是构建模型,一般来说,都是从具体的几何图形,通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型ax+bx≥2ab(a>0,b>0,x>0)上靠拢.
跟踪训练
1.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.
2.用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?
均值不等式的综合问题
不等式9x+a2x≥a+1(常数a>0),对一切正实数x成立,求a的取值范围.
规律方法
(1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值.
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值.
[注意] f(x)表示有关x的代数值.
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均值不等式及其应用PPT,第三部分内容:达标反馈
1.若a,b∈R,则判断大小关系a2+b2________2|ab|.( )
A.≥ B.=
C.≤ D.>
2.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________吨.
3.已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
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