《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT课件(第1课时函数的概念)
第一部分内容：学 习 目 标
1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)
2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)
核 心 素 养
1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．
2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．
3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.
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函数及其表示方法PPT，第二部分内容：自主预习探新知
新知初探
1．函数的概念
定义
给定两个_________A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的______实数x，按照对应关系f，在集合B中都有______确定的实数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个______，记作：y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量
三要素
对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 自变量x的取值的范围 (即数集A)
值域 所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈__}
思考：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，f是对应关系，y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，h(x)等来表示函数．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
2．两个函数相同
一般地，如果两个函数的定义域______，对应关系也______(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．
初试身手
1．思考辨析
(1)函数y＝f(x)＝x2，x∈A与u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数．( )
(2)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与g(x)＝2x，x∈[0,2]表示的是同一个函数．( )
(3)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与h(x)＝x2，x∈(0,2)表示同一个函数．( )
[提示](1)两个函数定义域相同，对应关系也相同．
(2)两函数的对应关系不同．
(3)两函数的定义域不同．
2．函数y＝1x＋1的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)
C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
3．若f(x)＝11－x2，则f(3)＝________.
4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________．
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函数及其表示方法PPT，第三部分内容：合作探究提素养
函数的概念
【例1】(1)下列四组函数，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x2，g(x)＝x
B．f(x)＝x，g(x)＝x2x
C．f(x)＝3x3，g(x)＝x
D．f(x)＝x2，g(x)＝(x)4
(2)判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数．
①A＝R，B＝R，对应法则f：y＝1x2；
②A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
③A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应法则如图所示．
(1)C [选项A中，由于f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝x两函数对应法则不同，所以它们不是同一函数；
选项B中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝x2x的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；
选项C中，f(x)＝3x3＝x，g(x)＝x的定义域和对应法则完全相同，所以它们是同一函数；
选项D中，f(x)＝x2的定义域为R，g(x)＝(x)4＝x2的定义域为[0，＋∞)，两个函数的定义域不相同，所以它们不是同一函数．]
(2)[解]①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应法则f：y＝1x2的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数．
③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
规律方法
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
课堂小结
1．判断两个函数相同
函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．
2．对函数定义的再理解
(1)函数的定义域必须是非空实数集，因此定义域为空集的函数不存在．如y＝11－x＋x－3就不是函数；集合A中的元素是实数，即A≠∅且A⊆R.
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
(3)函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．
例如，对于从集合A＝R到集合B＝R的函数y＝x2，值域是{y|y≥0}，而不是R.
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函数及其表示方法PPT，第四部分内容：当堂达标固双基
1．思考辨析
(1)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( )
(2)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( )
(3)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )
2．下列函数中，与函数y＝x相等的是( )
A．y＝(x)2 B．y＝x2
C．y＝|x| D．y＝3x3
3．将函数y＝31－1－x的定义域为________．
4．已知函数f(x)＝x＋1x.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
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