《函数与方程、不等式之间的关系》函数PPT课件(第1课时)
第一部分内容：学 习 目 标
1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．(难点)
2．会求函数的零点．(重点)
3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集．(重点、难点)
核 心 素 养
1.借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养．
2．通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，提升逻辑推理的素养．
3．利用零点法求不等式的解集，培养数学运算的素养.
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函数与方程不等式之间的关系PPT，第二部分内容：自主预习探新知
新知初探
1．函数的零点
(1)函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值______，即______，则称实数α为函数y＝f(x)的零点．
(2)三者之间的关系：
函数f(x)的零点⇔函数f(x)的图像与x轴有交点⇔方程f(x)＝0____________．
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
(1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函数f(x)＝ax2＋bx＋c的______．
(2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为_______的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为 的自变量x的取值集合．
3．图像法解一元二次不等式的步骤
(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；
(2)求出其对应的二次函数的_____；
(3)画出二次函数的_____；
(4)结合图像写出一元二次不等式的 _____．
初试身手
1．函数y＝1＋1x的零点是( )
A．(－1,0) B．x＝－1
C．x＝1 D．x＝0
2．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
3．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是( )
A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2
C．m≠±2 D．1＜m＜3
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函数与方程不等式之间的关系PPT，第三部分内容：合作探究提素养
函数的零点及求法
【例1】求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．
[解]令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，
∴(x3－x)－(6x－6)＝0，
∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)•(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，
解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，
∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.
规律方法
求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：一是令y＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
跟踪训练
1．如图所示是一个二次函数y＝f(x)的图像．
(1)写出这个二次函数的零点；
(2)试比较f(－4)•f(－1)，f(0)•f(2)与0的大小关系．
[解](1)由图像可知，函数f(x)的两个零点分别是－3,1.
(2)根据图像可知，f(－4)•f(－1)＜0，f(0)•f(2)＜0.
二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
【例2】利用函数求下列不等式的解集：
(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；
(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．
[解] (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，
原不等式的解集为(－∞，－1)∪(6，＋∞)．
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图像知，
原不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．
规律方法
利用函数求不等式解集的基本步骤
1把一元二次不等式化成一般形式，并把a的符号化为正；
2计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ；
3求其对应一元二次方程的根；
4写出解集大于取两边，小于取中间.
用函数零点法求一元高次不等式的解集
【例3】求函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．
[解] 函数的零点为－3,1,2.
函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．
课堂小结
1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
(1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点．
(2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．
3．图像法解一元二次不等式的步骤
(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；
(2)求出其对应的二次函数的零点；
(3)画出二次函数的图像；
(4)结合图像写出一元二次不等式的解集．
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函数与方程不等式之间的关系PPT，第四部分内容：当堂达标固双基
1．下列图像表示的函数中没有零点的是( )
A [B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．]
2．方程5x2－7x－1＝0的根所在的区间是( )
A．(－1,0)
B．(1,2)
C．一个根在(－1,0)上，另一个根在(1,2)上
D．一个根在(0,1)上，另一个根在(－2，－1)上
3．函数f(x)＝x－1x零点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．
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