《全称量词与存在量词》集合与常用逻辑用语PPT
第一部分内容：课标阐释
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题.
3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
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全称量词与存在量词PPT，第二部分内容：探究学习
一、全称量词与全称量词命题
1.给出下列命题:①所有的矩形都是平行四边形;②对任意一个x∈R,都有x2>0;③每一个菱形的对角线都垂直;④自然数是正整数.
(1)上述命题①②③中的“所有的”“任意一个”“每一个”都表示什么含义?如何定义这类命题?
提示:这些短语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做全称量词.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
(2)命题④是全称量词命题吗?它的量词是什么?
提示:是全称量词命题.它的量词是“所有的”(“每一个”等).即所有的自然数都是正整数.
(3)判断这四个命题的真假.
提示:命题①③是真命题,命题②④是假命题.因为当x=0时,x2>0不成立,所以②是假命题;因为0是自然数,但不是正整数,所以命题④是假命题.
(4)说一说如何判断一个全称量词命题的真假?
提示:要判断一个全称量词命题是真命题,需要说明每一个元素都满足题意;而要说明它是假命题,则只需要举出一个反例.
2.填空
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x).
二、存在量词与存在量词命题
1.给出下列命题:①有些矩形不是平行四边形;②存在一个x∈R,使得x2≤0;③至少有一个菱形的对角线不垂直;④有的自然数不是正整数.
(1)上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个”“有的”都表示什么含义?如何定义这类命题?
提示:这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
(2)判断这四个命题的真假.
提示:命题②④是真命题,命题①③是假命题.因为当x=0时,x2≤0成立,所以②是真命题;因为0是自然数,但不是正整数,所以命题④是真命题.
(3)说一说如何判断一个存在量词命题的真假?
提示:要判断一个存在量词命题是真命题,只要举一个特例满足题意即可.
2.填空
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在M中的元素x,P(x)成立”,可用符号简记为∃x∈M,p(x).
3.做一做
(1)判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
①全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.( )
②全称量词命题一定含有全称量词,存在量词命题一定含有存在量词.( )
(2)下列存在量词命题是假命题的是( )
A.存在x∈Q,使2x-x3=0 B.存在x∈R,使x2+x+1=0
C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数
(3)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是__________,该量词是__________量词(填“全称”或“存在”).
答案:(1)①√ ②× (2)B (3)有些 存在
三、全称量词命题和存在量词命题的否定
1.已知命题:①所有的矩形都是平行四边形;②每一个自然数都是正整数;③存在一个x∈R,使得x2≤0;④至少有一个菱形的对角线不垂直.
(1)写出这四个命题的否定.
提示:①有些矩形不是平行四边形;
②至少存在一个自然数不是正整数;
③对任意一个x∈R,都有x2>0;
④每一个菱形的对角线都垂直.
(2)这四个命题分别是什么命题?它的否定又是什么命题?
提示:①②是全称量词命题,它们的否定是存在量词命题.
③④是存在量词命题,它们的否定是全称量词命题.
(3)判断上述命题与其否定的真假,你能发现什么规律?
提示:命题①③是真命题,它们的否定是假命题;命题②④是假命题,它们的否定是真命题.即一个命题和它的否定真假相反.
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全称量词与存在量词PPT，第三部分内容：例题解析
全称量词命题与存在量词命题的辨析
例1判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.
(1)有些素数的和仍是素数;
(2)自然数的平方是正数.
解:因为(1)含有存在量词,所以命题(1)为存在量词命题;又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”,所以(2)含有全称量词,故为全称量词命题.
综上所述:(1)为存在量词命题,(2)为全称量词命题.
反思感悟 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
变式训练1下列命题中,是全称量词命题的是___________,是存在量词命题的是___________(填序号).
①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
解析:①②③是全称量词命题,④是存在量词命题.
答案:①②③ ④
全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2判断下列命题的真假.
(1)∃x∈Z,x3<1;
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(4)∀x∈N,x2>0.
解:(1)这是存在量词命题.因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,它是真命题.
(2)这是存在量词命题.是真命题,如梯形是四边形,不是平行四边形.
(3)这是全称量词命题.由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
(4)这是全称量词命题.因为0∈N,02=0,所以命题“∀x∈N,x2>0”是假命题.
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全称量词与存在量词PPT，第四部分内容：思维辨析
对命题的否定理解不清致误
典例命题p:∃x<3,x2>9的否定p为______________.
答案:∀x<3,x2≤9
纠错心得 在对含有一个量词的命题进行否定时,只需在两个地方作出改变即可,一是量词的符号,将“∀”改为“∃”,或者将“∃”改为“∀”;二是结论,将结论进行否定.当量词符号后面含有表示变量范围的不等式时,不能将这个不等式进行否定,否则得到的命题就不是原命题的否定.
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全称量词与存在量词PPT，第五部分内容：随堂演练
1.已知命题p:∀x∈R,x>a2+b2,则p的否定形式为( )
A.p:∃x∈R,x<a2+b2
B. p:∀x∈R,x≤a2+b2
C. p:∃x∈R,x≤a2+b2
D. p:∀x∈R,x<a2+b2
答案:C
2.下列语句:①被7整除的数都是奇数;②|x-1|<2;③存在实数a使方程x2-ax+1=0成立;④等腰梯形的对角线相等.
其中是全称量词命题且为真命题的序号是_________.
解析:全称量词命题有①④,其中①是假命题,如70.
答案:④
3.指出命题“空间中所有的四边形都共面”的量词,并判断真假.
解:量词为“所有的”.是假命题.
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