《幂函数》函数的概念与性质PPT
第一部分内容：课标阐释
1.通过具体实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.
2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x^(1/2)的图象,理解它们的变化规律.
3.能利用幂函数的基本性质解决相关的实际问题.
... ... ...
幂函数PPT，第二部分内容：自主预习
一、幂函数的定义
1.(1)函 数y=2x与y=x2有什么不同?
提示:在函数y=2x中,常数2为底数,自变量x为指数,故为指数函数;而在函数y=x2中,自变量x为底数,常数2为指数,故为幂函数.
(2) 函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1及y=x^(1/2)解析式有什么共同特征?
提示:底数是自变量,自变量的系数为1;指数为常数;幂xα的系数为1;解析式等号右边只有1项.
2.填空
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
3.做一做
在函数y=1/x^4 ,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为 .
解析:函数y=1/x^4 =x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不是同一函数,所以y=1不是幂函数.
答案:1
二、幂函数的图象及性质
1.在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x^(1/2),y=x-1的图象如下图所示.
(1)它们的图象都过同一定点吗?
提示:是的,都过定点(1,1).
(2)上述5个函数中,在(0,+∞)内是增函数的有哪几个?是减函数的呢?
提示:在(0,+∞)内是增函数的有:y=x,y=x2,y=x3,y= .在(0,+∞)内是减函数的有:y=x-1.
(3)上述5个函数中,图象关于原点对称,是奇函数的有哪几个?图象关于y轴对称,是偶函数的呢?
提示:图象关于原点对称,是奇函数的有:y=x,y=x3,y=x-1;图象关于y轴对称,是偶函数的有:y=x2.
2.填表
幂函数的性质
3.判断正误:
(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.( )
(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).( )
答案:(1)× (2)×
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幂函数PPT，第三部分内容：探究学习
幂函数的概念
例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.
解:根据幂函数的定义,
得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;
当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.
反思感悟判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3)x^(m^2 "-" m"-" 2)的图象不过原点,求实数m的取值.
解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.
综上所述,m=1或m=2.
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幂函数PPT，第四部分内容：思想方法
幂函数的“凸”性
(1)上凸函数、下凸函数的定义
设函数f(x)在[a,b]上有定义,若[a,b]中任意不同两点x1,x2,f (x_1+x_2)/2 ≥(f"(" x_1 ")" +f"(" x_2 ")" )/2都成立,则称f(x)在[a,b]上是上凸的函数,即上凸函数.
设函数f(x)在[a,b]上有定义,若[a,b]中任意不同两点x1,x2,f (x_1+x_2)/2 ≤(f"(" x_1 ")" +f"(" x_2 ")" )/2都成立,则称f(x)在[a,b]上是下凸的函数,即下凸函数.
这个定义从几何形式上看就是:在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方,那么这个函数就是上凸函数;如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是下凸函数.根据函数图象判断,一般开口向下的二次函数是上凸函数,开口向上的二次函数是下凸函数.
(2)幂函数的凸性
①幂函数y=xα,x∈(0,+∞),在α>1时,函数是下凸函数;
②幂函数y=xα,x∈(0,+∞),在0<α<1时,函数是上凸函数;
③幂函数y=xα,x∈(0,+∞),在α<0时,函数是下凸函数.
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幂函数PPT，第五部分内容：随堂演练
1.幂函数y=kxα过点(4,2),则k-α的值为( )
A.-1 B.1/2 C.1 D.3/2
解析:幂函数y=kxα过点(4,2),
所以{■(k=1"," @4^α=2"," )┤解得{■(k=1"," @α=1/2 "." )┤所以k-α=1/2.
答案:B
2.幂函数y=x2,y=x-1,y=x^(1/3),y=x^("-" 1/2)在第一象限内的图象依次是下图中的曲线( )
A.C2,C1,C3,C4
B.C4,C1,C3,C2
C.C3,C2,C1,C4
D.C1,C4,C2,C3
解析:幂函数图象在第一象限内直线x=1右侧的“高低”关系是“指大图高”,故幂函数y=x2在第一象限内的图象为C1,y=x-1在第一象限内的图象为C4, y=x^(1/3)在第一象限内的图象为C2, y=x^(1/3) 在第一象限内的图象为C3.
答案:D
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