《章末整合》函数的概念与性质PPT
第一部分内容：专题一 求函数的值域
例1求下列函数的值域:
(1)y=(5x"-" 1)/(4x+2);(2)y=(x^2 "-" 4x+3)/(2x^2 "-" x"-" 1);
(3)y=(2x^2+4x"-" 7)/(x^2+2x+3);(4)y=2x-√(x"-" 1).
解:(1)(借助反比例函数的特征求解)
y=(5x"-" 1)/(4x+2)=(5/4 "(" 4x+2")-" 1"-" 5/2)/(4x+2)=(5/4 "(" 4x+2")-" 7/2)/(4x+2)=5/4-7/(2"(" 4x+2")" ).
∵7/(2"(" 4x+2")" )≠0,∴y≠5/4.
所以函数的值域为{y"∈" R├|y≠5/4┤}.
(2)∵y=(x^2 "-" 4x+3)/(2x^2 "-" x"-" 1)=("(" x"-" 1")(" x"-" 3")" )/("(" x"-" 1")(" 2x+1")" )=(x"-" 3)/(2x+1)(x≠1),
又(x"-" 3)/(2x+1)=(1/2 "(" 2x+1")-" 7/2)/(2x+1)=1/2-7/(2"(" 2x+1")" ).
当x=1时,原式y=(1"-" 3)/(2×1+1)=-2/3.
∴函数的值域为{y"∈" R├|y≠1/2 "且" y≠"-" 3/2┤}.
(3)(转化为关于x的二次方程,然后利用判别式求值域)
已知函数式可变形为:yx2+2yx+3y=2x2+4x-7.
(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0,
当y≠2时,将上式视为关于x的一元二次方程.
∵x∈R,∴Δ≥0,即[2(y-2)]2-4(y-2)(3y+7)≥0.
解得-9/2≤y<2.
当y=2时,3×2+7≠0,∴y≠2.
∴函数的值域为 -9/2,2 .
(4)令√(x"-" 1)=t,则t≥0,x=t2+1.
∴y=2(t2+1)-t=2t2-t+2=2 t-1/4 2+15/8.
∵t≥0,∴y≥15/8.∴函数y=2x-√(x"-" 1)的值域是 15/8,+∞ .
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章末整合PPT，第二部分内容：专题二 利用函数单调性求函数的最值
例2设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.
(1)讨论函数f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值.
解:(1)当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数.
当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a).
此时函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)①当x≤a时,函数f(x)=x2-x+a+1= x-1/2 2+a+3/4.
若a≤1/2,则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减,从而,函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.
若a>1/2,则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f 1/2 =3/4+a,且f 1/2 <f(a).
②当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1= x+1/2 2-a+3/4.
若a≤-1/2,则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f -1/2 =3/4-a,且f -1/2 ≤f(a).
若a>-1/2,则函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.
综上,当a≤-1/2时,函数f(x)的最小值是3/4-a;
当-1/2<a≤1/2时,函数f(x)的最小值是a2+1.
当a>1/2时,函数f(x)的最小值是a+3/4.
方法技巧 解含参数问题的基本思想是分类讨论,关键是确定讨论的标准,要求不重复,不遗漏.本题对于奇偶性的讨论标准是参数为零以及非零,分别对应偶函数及非奇非偶函数;对于最大值与最小值的讨论标准比较复杂,可以看为两类标准,一类是绝对值的零点(零点知识将在第四章学习),二是抛物线的对称轴与相应区间的位置,通常需借助函数的图象.
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章末整合PPT，第三部分内容：专题三 函数的奇偶性的应用
例3若奇函数y=f(x)是定义在[-1,1]上的减函数,且f(1-a)+f(1-a2)>0,求a的取值范围.
解:由奇函数的性质,-f(1-a2)=f(a2-1),即f(1-a)+f(1-a2)>0等价于f(1-a)>f(a2-1),
又因为f(x)是定义在[-1,1]上的减函数,
所以{■("-" 1≤1"-" a≤1"," @"-" 1≤a^2 "-" 1≤1"," @1"-" a<a^2 "-" 1"," )┤解得1<a≤√2.
方法技巧 利用f(x)是奇函数和减函数的性质,去掉f,等价变换出a的不等式组.
变式训练3若f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上是增函数,又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),求a的取值范围.
解:法一:∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则-x1>-x2,
因为f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,
所以f(-x1)>f(-x2).
又因为f(x)是偶函数,得f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上是减函数,
因为2a2+a+1=2 a2+1/2a +1=2 a+1/4 2+7/8,3a2-2a+1=3 a-1/3 2+2/3,
所以2a2+a+1和3a2-2a+1是两个正数,
所以f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)等价于2a2+a+1>3a2-2a+1,解得0<a<3.
法二:同法一,判断出2a2+a+1和3a2-2a+1是两个正数,则有-(2a2+a+1)<0和-(3a2-2a+1)<0.
由偶函数性质,f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)等价于f[-(2a2+a+1)]<f[-(3a2-2a+1)],
又f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,即-(2a2+a+1)<-(3a2-2a+1),解得0<a<3.
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