《单调性、最大值与最小值》三角函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.理解正弦函数与余弦函数的单调性,会求函数的单调区间.
2.能够利用三角函数单调性比较三角函数值的大小.
3.能够结合三角函数的单调性求函数的最值和值域.
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单调性最大值与最小值PPT，第二部分内容：自主预习
一、正弦函数与余弦函数的单调性
1.观察正弦曲线,正弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?如何将这些单调区间进行整合?类似地,余弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?怎样整合这些区间?
提示:正弦函数在每一个闭区间["-" π/2+2kπ"," π/2+2kπ]
(k∈Z)上都是增函数;在每一个闭区间[π/2+2kπ"," 3π/2+2kπ]
(k∈Z)上都是减函数;余弦函数在每一个闭区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都是增函数;在每一个闭区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上都是减函数.
2.填空
(1)正弦函数y=sin x在每一个闭区间["-" π/2+2kπ"," π/2+2kπ](k∈Z)上都单调递增;在每一个闭区间[π/2+2kπ"," 3π/2+2kπ](k∈Z)上都单调递减;
(2)余弦函数y=cos x在每一个闭区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都单调递增;在每一个闭区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上都单调递减.
3.做一做
(1)函数y=sin 2x-1的单调递增区间是___________;
(2)函数y=3-cos 2x的单调递增区间是___________.
解析:(1)令-π/2+2kπ≤2x≤π/2+2kπ,k∈Z,
解得-π/4+kπ≤x≤π/4+kπ,k∈Z,故函数的单调递增区间是["-" π/4+kπ"," π/4+kπ](k∈Z).
(2)函数y=3-cos 2x的单调递增区间即为函数y=cos 2x的单调递减区间,令2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,解得kπ≤x≤π/2+kπ,k∈Z,故函数的递增区间是 kπ,π/2+kπ (k∈Z).
答案:(1)["-" π/4+kπ"," π/4+kπ](k∈Z)
(2)[kπ"," π/2+kπ](k∈Z)
二、正弦函数与余弦函数的最值和值域
1.观察正弦曲线和余弦曲线,正、余弦函数是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少?当自变量x分别取何值时,正弦函数y=sin x取得最大值和最小值?余弦函数呢?
提示:正、余弦函数存在最大值1和最小值-1;正弦函数当且仅当x=2kπ+π/2(k∈Z)时取最大值1,当且仅当x=2kπ+3π/2(k∈Z)时取最小值-1;余弦函数当且仅当x=2kπ(k∈Z)时取最大值1,当且仅当x=π+2kπ(k∈Z)时取最小值-1.
2.填空
(1)正弦函数y=sin x当且仅当x=2kπ+π/2(k∈Z)时取最大值1;当且仅当x=2kπ+3π/2(k∈Z)时取最小值-1;
(2)余弦函数y=cos x当且仅当x=2kπ(k∈Z)时取最大值1;当且仅当x=2kπ+π(k∈Z)时取最小值-1.
(3)正弦函数y=sin x、余弦函数y=cos x的值域都是[-1,1].
3.做一做
(1)函数y=2-3sin x的最小值是___________;
(2)当函数y=cos 取得最大值时,x的值等于___________.
解析:(1)因为y=sin x的最大值为1,所以y=2-3sin x的最小值是-1.
(2)当 =2kπ,k∈Z,即x=4kπ,k∈Z时,函数y=cos 取得最大值.
答案:(1)-1 (2)4kπ(k∈Z)
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单调性最大值与最小值PPT，第三部分内容：探究学习
求三角函数的单调区间
例1求下列函数的单调递减区间:
(1)y=1/2cos(2x+π/3);
(2)y=2sin(π/4 "-" x).
分析:(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解;(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间.
解:(1)令z=2x+π/3,而函数y=cos z的单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z).
∴当原函数单调递减时,可得2kπ≤2x+π/3≤2kπ+π(k∈Z),
解得kπ-π/6≤x≤kπ+π/3(k∈Z).
∴原函数的单调递减区间是[kπ"-" π/6 "," kπ+π/3](k∈Z).
反思感悟 与正弦函数、余弦函数有关的单调区间的求解技巧:
(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间;
(2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin z的单调区间求出原函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.
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单调性最大值与最小值PPT，第四部分内容：思维辨析
求三角函数最值时忽视分类讨论或忽略定义域致误
1.忽视分类讨论
典例1已知函数y=2asin(2x"-" π/3)+b的定义域为 0,π/2 ,函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.
错解∵0≤x≤π/2,∴-π/3≤2x-π/3≤2π/3.
∴-√3/2≤sin(2x"-" π/3)≤1.
则{■(2a+b=1"," @"-" √3 a+b="-" 5"," )┤解得{■(a=12"-" 6√3 "," @b="-" 23+12√3 "." )┤
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
提示:错解中默认为a>0,忽视了对a<0这一情况的讨论,导致丢解.
正解:∵0≤x≤π/2,∴-π/3≤2x-π/3≤2π/3.
∴-√3/2≤sin(2x"-" π/3)≤1.
若a>0,则{■(2a+b=1"," @"-" √3 a+b="-" 5"," )┤解得{■(a=12"-" 6√3 "," @b="-" 23+12√3 "." )┤
若a<0,则{■(2a+b="-" 5"," @"-" √3 a+b=1"," )┤解得{■(a="-" 12+6√3 "," @b=19"-" 12√3 "." )┤
防范措施 形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的函数,其最值与参数A的正负有关,因此在解决这类问题时,要注意对A分A>0和A<0两种情况进行分类讨论.
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单调性最大值与最小值PPT，第五部分内容：随堂演练
1.函数y=-cos x在区间["-" π/2 "," π/2]上是( )
A.增函数 B.减函数
C.先减后增函数 D.先增后减函数
解析:结合函数在["-" π/2 "," π/2]上的图象可知C正确.
答案:C
2.函数y=2-sin x的最大值及取最大值时x的值为( )
A.ymax=3,x=π/2
B.ymax=1,x=π/2+2kπ(k∈Z)
C.ymax=3,x=-π/2+2kπ(k∈Z)
D.ymax=3,x=π/2+2kπ(k∈Z)
解析:因为y=2-sin x,所以当sin x=-1时,ymax=3,此时x=-π/2+2kπ(k∈Z).
答案:C
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